Filtros e Ciclo
O filtro Hodrick-Prescott e o hiato do produto
Como separamos a tendência de longo prazo de uma série econômica do seu ciclo, e por que o hiato mais recente é sempre o menos confiável.
Boa parte da análise macroeconômica depende de saber se a economia está "acima" ou "abaixo" do seu potencial — o chamado hiato do produto. Mas o potencial não é observável: precisa ser estimado. A ferramenta mais usada para isso é o filtro Hodrick-Prescott (HP), que separa uma série em duas partes: uma tendência suave e um ciclo em torno dela.
O problema de minimização
O filtro escolhe a tendência τ que equilibra dois objetivos opostos: ficar perto dos dados observados y e, ao mesmo tempo, ser suave. Formalmente, minimiza
Σ(y_t − τ_t)² + λ·Σ[(τ_{t+1} − τ_t) − (τ_t − τ_{t-1})]²
O primeiro somatório penaliza a distância entre tendência e dados; o segundo penaliza mudanças na inclinação da tendência (a sua "aceleração"). O parâmetro λ controla o trade-off: quanto maior, mais suave e mais rígida a tendência.
Solução em forma fechada
O problema tem solução exata: τ = (I + λK'K)⁻¹·y, onde K é a matriz de segundas diferenças. No Observatório resolvemos esse sistema por gradiente conjugado, que é numericamente estável mesmo para λ muito grande e converge de imediato quando a série já é linear. Com a tendência em mãos, o hiato é simplesmente (y_t − τ_t) / τ_t × 100, em porcentagem.
Escolhendo o λ
O valor de λ depende da frequência dos dados. Seguimos a recomendação clássica de Ravn e Uhlig (2002):
- Dados anuais: λ = 100
- Dados trimestrais: λ = 1.600
- Dados mensais: λ = 129.600
Como usamos o IBC-Br mensal para aproximar a atividade, o λ padrão dos nossos hiatos é 129.600.
Limitações
O filtro HP tem um defeito bem conhecido: o viés de fim de amostra. Como a tendência em cada ponto depende dos vizinhos, os pontos nas bordas — especialmente o mais recente — têm menos informação futura para se apoiar e são revisados a cada novo dado que chega. Na prática, isso significa que o hiato do mês corrente é o menos confiável de toda a série e costuma ser recalculado nos meses seguintes. Há ainda críticas mais amplas (o filtro pode induzir ciclos espúrios), o que recomenda tratá-lo como uma aproximação útil, não como verdade sobre o potencial da economia.