Regressão OLS e diagnósticos econométricos

Quase todas as relações estimadas no Observatório — da função de reação do Copom às variantes da curva de Phillips — saem do mesmo motor: a regressão por Mínimos Quadrados Ordinários (OLS). Vale entender o que ela faz e, sobretudo, como saber quando confiar no resultado.

O que o OLS faz

Dado um conjunto de variáveis explicativas (organizadas numa matriz X) e uma variável a explicar (y), o OLS encontra os coeficientes que minimizam a soma dos quadrados dos erros — a distância entre o que o modelo prevê e o que de fato aconteceu. A solução tem forma fechada:

β = (X'X)⁻¹X'y

Na prática, resolvemos esse sistema por eliminação de Gauss com pivotação parcial, incluindo sempre uma coluna de 1s para o intercepto. Se o sistema for singular (variáveis redundantes) ou houver observações de menos, a estimação é abortada em vez de devolver um número sem sentido.

Medindo o ajuste

• R² — a fração da variação de y explicada pelo modelo, entre 0 e 1. Perto de 1, o modelo acompanha bem os dados; perto de 0, quase nada.
• RMSE (raiz do erro quadrático médio) — o tamanho típico do erro, na mesma unidade de y. Quanto menor, melhor.
• R² ajustado — 1 − (1−R²)·(n−1)/(n−k−1). Penaliza a adição de regressores irrelevantes: só sobe se a variável nova compensar o custo de complexidade. É a métrica certa para comparar modelos com número diferente de variáveis — por isso é ela que a variante de diagnóstico da Phillips usa.
• MAE (erro absoluto médio) — a média dos erros em valor absoluto, mais robusta a outliers do que o RMSE.

Diagnósticos: quando o ajuste não basta

Um R² alto não garante uma regressão confiável. O OLS só é válido se os erros se comportarem bem — e dois testes verificam isso.

Durbin-Watson (autocorrelação)

Mede se os erros de um período estão correlacionados com os do período anterior, algo comum em séries temporais. A estatística é DW = Σ(ε_t − ε_{t-1})² / Σε_t². Um valor próximo de 2 indica ausência de autocorrelação; abaixo de 1,5, autocorrelação positiva — sinal de que o modelo deixou estrutura temporal de fora e os erros-padrão podem estar subestimados.

Breusch-Pagan (heterocedasticidade)

Verifica se a variância dos erros é constante (homocedasticidade) ou muda conforme os regressores (heterocedasticidade). Regride os erros ao quadrado sobre as variáveis explicativas; a estatística LM = n·R² dessa regressão auxiliar segue uma distribuição qui-quadrado. Um LM alto rejeita a hipótese de variância constante — de novo, um alerta de que os erros-padrão precisam de correção.

Limitações

O OLS é simples e transparente, mas supõe relações lineares, ausência de causalidade reversa e erros bem-comportados. Em séries econômicas curtas ou com quebras estruturais, essas hipóteses falham com frequência. Os diagnósticos servem exatamente para tornar essas falhas visíveis: uma regressão com bom R² mas Durbin-Watson baixo ou Breusch-Pagan elevado deve ser lida com cautela.